Atommagkutató Intézet
MTA Kiváló Kutatóhely

Egzaktul megoldható problémák a kvantummechanikában

Témavezető
E-mail cím
Kutatási terület Kvantumfizika
Kutatásban résztvevők
Publikációk
Kivonat

A kvantumrendszereket általában a Schrödinger-egyenlettel írják le, amely tartalmazza a kölcsönhatásokért felelős potenciált. A megoldások általában numerikus módszerekkel származtathatók, de néha egzakt matematikai alakban is megkaphatók. Az ilyen egzaktul megoldható potenciálok jelentősége abban áll, hogy felhasználhatók a numerikus módszerek fejlesztésére és tesztelésére. Emellett segítenek megérteni a kvantummechanika alapvető vonatkozásainak, pl. a rendszer szimmetriáinak megértését is.

Leírás

A potenciálfeladatok egzakt megoldását általában egy olyan transzformációjával vezetik le, amely a Schrödinger-egyenletet a matematikai fizika valamely speciális függvényének másodrendű differenciálegyenletébe viszi. E függvény és a változótranszformáció megválasztásával különféle potenciálosztályokat lehet kapni. A leggyakrabban tárgyalt potenciálok a hatparaméteres Natanzon-osztályhoz tartoznak, amely esetben a Schrödinger-egyenlet megoldásai egy hipergeometrikus, vagy egy konfluens hipergeometrikus függvénnyel vannak kifejezve. A legismertebb egzaktul megoldható potenciálok (harmonikus oszcillátor, Coulomb, Pöschl-Teller stb.) a Natanzon-osztály két- vagy háromparaméteres alosztályaiba tartoznak.

A szuperszimmetrikus kvantummechanika (SUSYQM) egy további szokványos módszer az egzaktul megoldható potenciálok tanulmányozására. Ezzel az eljárással új, egzaktul megoldható potenciálok származtathatók ismert ilyen potenciálokból oly módon, hogy a két potenciál azonos energiaspektrummal rendelkezik, eltekintve esetlegesen az alapállapottól.

További módszerek ismeretesek a Natanzon-osztályon kívül eső potenciálok származtatására. Az egyik esetben további speciális függvényeket (Bessel, Heun stb.) tekintenek a megoldásban, a másikban pedig több ugyanolyan típusú speciális függvény lineáris kombinációját.

A változótranszformáción, illetve a SUSY transzformáción alapuló módszerek összeköthetők csoportelméleti technikákkal is, mely esetben a potenciálok különféle szimmetriái válnak könnyen tárgyalhatóvá.

Az 1998-ban bevezetett  PT-szimmetrikus kvantumechanika a kvantummechanika egy nem-hermitikus megfogalmazása. Az ilyen rendszerek Hamilton-operátora invariáns az egyszerre történő tér- (P) és időtükrözésre (T) nézve, és valós energia-sajátértékekkel rendelkezik, amennyiben a PT-szimmetria nem sérül. A szokásos eljárásokat kiterjesztették erre a területre is, miáltal számos egzaktul megoldható PT-szimmetrikus probléma vált tárgyalhatóvá.


Bender, CM ; Lévai, G: Exactly Solvable PT-Symmetric Models
In: Tateo, Roberto; Lévai, Géza; Kuzhel, Sergii; Jones, Hugh F; Hook, Daniel W; Fring, Andreas; Dunning, Clare; Dorey, Patrick E; Bender, Carl M: 
PT Symmetry in Quantum and Classical Physics
London, Egyesült Királyság / World Scientific (Europe), (2019) pp. 221-260. , 40 p.